新知識(shí)的獲取離不開探索。探索越多，收獲越多。雖然考研備考更多的是復(fù)習(xí)而非創(chuàng)新，但只要一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、一種方法、一種理解角度對你是新的，那這種復(fù)習(xí)便可歸為廣義的探索。這種探索與學(xué)術(shù)研究有所不同，學(xué)術(shù)研究更多地是在某點(diǎn)的深入，形不成體系;而研究生考試考查的知識(shí)不少已形成知識(shí)體系，是可以系統(tǒng)地理解的。而要理解并把握一個(gè)知識(shí)體系需要做到融會(huì)貫通。
所以我們復(fù)習(xí)時(shí)要有尋根究底的精神：為了弄清概念A(yù)，我們要理解概念B，而概念B中很可能又含有你不甚了解的概念C……不要放棄，堅(jiān)持下去!只要這些概念是考綱要求的，就不要放過!下面的文字也是按照這種思路組織的。我當(dāng)年也是按照這種方式學(xué)習(xí)的，效果不錯(cuò)。
所以我們復(fù)習(xí)時(shí)要有尋根究底的精神：為了弄清概念A(yù)，我們要理解概念B，而概念B中很可能又含有你不甚了解的概念C……不要放棄，堅(jiān)持下去!只要這些概念是考綱要求的，就不要放過!下面的文字也是按照這種思路組織的。我當(dāng)年也是按照這種方式學(xué)習(xí)的，效果不錯(cuò)。
秩的中文含義是官員俸祿的動(dòng)態(tài)排序，英文單詞是rank，也有次序、排位之意。秩在線性代數(shù)中用在矩陣和向量組上，我們也可以將秩視為對矩陣和向量組排序的一種指標(biāo)(如果按照秩從小到大的順序排列，那零矩陣排在最前面，接著是秩為1的矩陣，……)。跟秩打了個(gè)招呼后，請睜大眼睛，做好迎接挑戰(zhàn)的準(zhǔn)備，我們的探索之旅開始了。
一、 矩陣的秩
什么是矩陣?矩陣即由m乘n個(gè)實(shí)數(shù)排列而成的m行n列的數(shù)表。
有人說，要想真正認(rèn)識(shí)一座山，除了要親自爬一下這座山，還要爬其它的山。這是有道理的：前者讓人有親身經(jīng)驗(yàn)，后者使人有所參照。生活和學(xué)習(xí)中的很多道理是相通的。要透徹理解一個(gè)概念，不僅需要深入理解其定義，而且需要將其與其它概念作比較，以辨明區(qū)別與聯(lián)系。
下面，我們就把矩陣與行列式做一個(gè)比較：
矩陣
行列式
區(qū)別
本質(zhì)
陣（數(shù)表）
式（運(yùn)算法則，結(jié)果為數(shù)）
形式
矩（行數(shù)、列數(shù)未必相同）
方（行數(shù)、列數(shù)相同）
寫法
放大的小括號(hào)或中括號(hào)
放大的絕對值
聯(lián)系
矩陣為方陣時(shí)
可以對矩陣取行列式
矩陣不為方陣時(shí)
可以從矩陣中“挑出”子式
上表提到了子式，那什么是子式?
子式即矩陣任取i行i列交叉位置的元素所構(gòu)成的行列式。為什么叫子式?子即孩子，因?yàn)樗删仃嚠a(chǎn)生的，是矩陣的孩子;式即行列式。這里的子式是相對矩陣而言的，行列式有沒有子式呢?因?yàn)樾辛惺街械脑厥前捶疥囆问脚帕械模强梢园凑站仃囌易邮降姆绞秸页鲎邮降摹５@只是矩陣找子式的方式，行列式有自己找子式的方式。也即行列式也有子式，不過子式的找法與矩陣不同。如何找，找出來是什么樣子?我們看下面兩個(gè)概念：
1. 余子式
顧名思義：余下的子行列式。仍有疑問：余下的，怎么余下的?子式是“由行列式產(chǎn)生的行列式”嗎?后面問題回答是肯定的。對于第一個(gè)問題，看一下余子式的完整定義就可以了：行列式中元素aij對應(yīng)的余子式為在行列式中劃掉aij所在行和列后構(gòu)成的低一階的行列式。
所以我們發(fā)現(xiàn)：余下的含義是劃掉了一行一列而剩下。并且還發(fā)現(xiàn)余子式是只能是低一階的行列式，不能低兩階或低多階，也不能是同階。
電影《肖申克的救贖》中有句臺(tái)詞，大意為：既然已經(jīng)走了這么遠(yuǎn)，為什么不多走一點(diǎn)呢?套用過來：既然我們已經(jīng)弄清了余子式的概念，那為什么不多走一步，弄清一個(gè)相關(guān)的概念——代數(shù)余子式呢?
2. 代數(shù)余子式
代數(shù)作為修飾語的含義是“帶符號(hào)”(或加正負(fù)號(hào))。如定積分的幾何意義是曲邊梯形面積的代數(shù)和。所以代數(shù)余子式即帶符號(hào)的余子式。這里又產(chǎn)生了一個(gè)問題：符號(hào)的正負(fù)是如何確定的呢?這是由劃掉的行數(shù)和列數(shù)決定的，或者說由元素aij所在的位置決定的，即-1的i+j次冪。
通過一番討論，我們搞清了子式的概念。那對于這樣一個(gè)1乘3矩陣：(1 2 0)，你能找出它的所有的子式嗎?不難發(fā)現(xiàn)它的子式共有三個(gè)：1,2,0。這說明：一個(gè)矩陣的子式可能有多個(gè)。而我們關(guān)注的是那些非零的子式(注意到子式是行列式，而行列式的值是可以算出來的)。此處非零的子式有：1,2。現(xiàn)在我們再完成一項(xiàng)工作，勝利就在眼前了。在這些非零的子式里，我們挑出階數(shù)最高的。此處兩個(gè)非零子式都是一階的，最高階數(shù)當(dāng)然是1。這個(gè)最高階數(shù)不是別的，就是原矩陣的秩。所以矩陣(1 2 0)的秩為1。是不是有“眾里尋他千百度，那秩卻在燈火闌珊處”的感覺?
對于一個(gè)一般的m乘n矩陣，我們也可以按照上面的三個(gè)步驟找出它的秩：找出它的所有子式;在這些子式里面找出非零的;挑出非零子式中階數(shù)最高的，這個(gè)最高階數(shù)就是矩陣的秩。下面再看矩陣的秩的定義，就會(huì)覺得它不那么難理解了。
矩陣的秩即矩陣中非零子式的最高階數(shù)。
