碩士研究生招生考試
綜合考試（概率論、數理統計、解析幾何、實變函數）科目大綱
(科目代碼：998)
學院名稱(蓋章)：數學與統計學院
學院負責人(簽字)：
編制時間：2022年6月22日
統計學綜合考試（概率論、數理統計、解析幾何、實變函數）科目大綱
(科目代碼：998)
本門考試包含四門課程：概率論、數理統計、解析幾何、實變函數，總分為100分，其中概率論及解析幾何分別占25到30分，數理統計和實變函數分別占20分到25分。
《概率論》考試大綱
一、考核要求
正確理解基本概念，準確掌握基本方法和基本結論。注重對隨機現象的理解和概率直覺，理解概率統計中一些主要概念和方法產生的背景和思路，能夠對實際事物中的隨機性產生敏感，能綜合利用所學知識分析和解決一些實際問題。
二、考核內容
第一章隨機事件與概率
第一節隨機事件及其運算
第二節概率的定義及其確定方法
第三節概率的性質
第四節條件概率
第五節獨立性
考核要點：重點掌握隨機事件、事件的概率、不相容、對立和獨立性等基本概念，掌握概率的基本性質、兩個概率模型及乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式，熟練掌握事件與概率的有關運算。
第二章隨機變量及其分布
第一節隨機變量及其分布
第二節隨機變量的數學期望
第三節隨機變量的方差和標準差
第四節常用離散分布
第五節常用連續分布
第六節隨機變量函數的分布
考核要點：重點掌握一維離散型隨機變量的概率分布列和連續型隨機變量的概率密度函數，熟練掌握隨機變量數學期望和方差的計算，會求隨機變量函數的分布。
第三章多維隨機變量及其分布
第一節二維隨機變量及其聯合分布
第二節第二節邊緣分布和隨機變量的獨立性
第三節二維隨機變量函數的分布
第四節隨機變量的數值特征
考核要點：重點掌握二維離散型隨機變量的聯合概率分布列和邊緣概率分布列，二維連續型隨機變量的聯合概率密度函數和邊緣密度函數，熟練掌握隨機變量協方差和相關系數的計算，會求隨機變量函數的分布。
第四章大數定律和中心極限定理
第一節隨機變量序列的兩種收斂性
第二節大數定律
第三節中心極限定理
考核要點：理解兩種特殊的收斂性，理解大數定律和中心極限定理的刻畫的概率本質，會使用中心極限定理近似計算一些具體問題的概率。
三、參考書目
[1]茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數理統計教程(第二版).北京：高等教育出版社,2011年第2版.
[2]魏宗舒等.概率論與數理統計教程(第二版).北京：高等教育出版社,2008年.
《數理統計》考試大綱
一、考核要求
正確理解數理統計的基本概念，準確掌握基本方法和基本結論。注重對數據收集、整理、分析、處理的方法掌握，重點考核應用統計思想和方法分析問題和解決實際問題的能力。
二、考核內容
第一章統計量及其分布
第一節總體與樣本
第二節樣本數據的整理
第三節常見統計量及其分布
第四節三大抽樣分布
第五節充分統計量
考核要點：理解總體與樣本的基本概念，理解樣本數據整理的直方圖、莖葉圖，理解三大抽樣分布的基本性質，掌握經驗函數、常見統計量及其分布，掌握次序統計量及其分布，理解樣本分位數及其漸近分布，用因子分解定理能討論統計量的性質。
第二章參數估計
第一節點估計的概念
第二節矩估計
第三節極大似然估計
第四節最小方差無偏估計
第五節區間估計
考核要點：理解參數的估計量、置信區間及其評價標準，掌握參數的矩估計、極大似然估計的方法，并能討論估計量的性質，掌握用樞軸量法求常用的置信區間。
第三章假設檢驗
第一節假設檢驗的基本思想與概念
第二節正態總體參數假設檢驗
第三節其他分布參數的假設檢驗
第四節似然比檢驗與分布擬合檢驗
考核要點：理解參數的顯著性假設檢驗思想，理解非正態總體參數的假設檢驗，理解似然比檢驗與分布擬合檢驗及正態性檢驗，掌握顯著性水平、第一二類錯誤的概率、勢函數、檢驗的拒絕域、檢驗的原假設、備擇假設等基本概念，理解掌握正態總體的期望和方差的顯著性檢驗方法。
三、參考書目：
[1]茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數理統計教程(第二版).北京：高等教育出版社,2011年第2版.
[2]韋來生.數理統計.北京：科學出版社,2008年.
《實變函數》考試大綱
一、考核要求
掌握實變函數的基本理論、基本知識與基本方法，能熟練地掌握對等和基數的概念，可數集的定義和性質，n維歐氏空間中聚點、內點和界點的定義，開集、閉集、完備集的概念和性質。初步理解和掌握可測集和不可測集的刻化和基本性質。熟練掌握可測函數的性質，幾乎處處收斂與依測度收斂的關系和基本的推導方法。初步掌握lebesgue積分的的性質，能用有關定理極其它與Riemann積分的關系去處理一些簡單的問題。
二、考核內容
第一章集合
1.知識點
集合的概念和運算，對等與基數，可數集合，不可數集合，半序集和曹恩引理。
2.考核要點
1）掌握集合交，并、余等運算和上、下極限的定義和基本運算；
2）熟練掌握集合的對等的定義與性質；能熟練應用伯恩斯坦（Bernstein）定理證明集合的對等關系；
3）理解基數的定義；掌握可數集與不可數集的性質，會判斷給定的集合是否可數。
第二章點集
1.知識點
度量空間（n維歐氏空間），聚點、內點和界點，開集、閉集、完備集極其構造。
2.考核要點
1）理解和掌握度量空間的定義，鄰域的性質，有界點集的定義和n維區間的體積；
2）熟練掌握n維區間點的關系，聚點、內點和界點的定義聚點與等價條件；
3）掌握開核、邊界和導集的概念和性質極其相互關系；
4）理解和掌握開集、閉集和完備集的性質；
5）理解開集的構成區間與余區間，了解開集、閉集的構造；熟練掌握康托爾集的構成和性質。
第三章測度論
1.知識點
約當測度，Lebesgue外測度和內測度，可測集。
2.考核要點
1）測度的定義和性質；
2）掌握Lebesgue外測度和內測度的定義和基本性質；
3）練掌握由卡拉皆屋鐸利給出可測集的定義及可測集的基本運算性質；
4）掌握零測集的性質；開集、閉集的可測性；
5）約當測度與Lebesgue測度的關系；
6）解特殊的兩類集合，波雷耳集。
第四章可測函數
1.知識點
可測函數及其性質，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，可測函數的構造，依測度收斂。
2.考核要點
1）熟練掌握可測函數及其四則運算，可測函數與簡單函數的關系，幾乎處處成立的概念；
2）理解葉果洛夫定理；
3）理解并掌握魯津定理及其逆定理；
4）熟練掌握依測度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測度收斂的幾個反例，Riese定理和Lebesgue收斂定理。
第五章積分論
1.知識點
Riemann積分，勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質，一般可積函數，積分的極限定理。
2.考核要點
1）了解由確界式定義的Riemann積分，及Riemann積分的缺陷；
2）理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個充要條件；可積的四則運算，勒貝格積分與Riemann積分的關系；
3）熟練掌握勒貝格積分的基本性質和絕對連續性；
4）熟練掌握一般可積函數的L積分的定義和初等性質；
5）牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理，L逐項積分定理，積分的可數可加性，Fatou引理及有關積分與求導交換的定理。
三、參考書目
[1]程其襄，張奠宙，胡善文等編.實變函數與泛函分析(第3版).北京：高等教育出版社，2010年第3版.
[2]周民強.實變函數論.北京：北京大學出版社，2001年.
《解析幾何》考試大綱
一、考核要求
解析幾何就是用代數方法研究幾何。掌握解析幾何的思想，基本理論和研究方法，考核培養學生的抽象思維能力、建立數學模型的能力、推理與演算的能力。
二、考核內容
第一章向量與坐標
1·1向量的概念、向量的線性運算、向量的線性關系和向量分解
1·2坐標系與向量的坐標
1·3向量在給定方向上的射影
1·4向量的內積
1·5向量的外積
1·6三向量的混合積
考核要點：向量的概念與運算、坐標與坐標系、用坐標進行向量的運算、向量共線或共面的必要條件。熟練掌握和運用向量的基本知識，解決關于共線、共面、定比分點等仿射性質的問題；解決關于長度、夾角、面積、體積等度量問題。
第二章軌跡與方程
2·1平面曲線的方程
2·2曲面的方程
2·3母線平行于坐標軸的柱面方程
2·4空間曲線的方程
考核要點：建立動點軌跡的方程是解析幾何的基本思想。學生應當深刻理解軌跡與其方程之間的關系，能熟練地掌握建立曲面或曲線的方程的方法以及直角坐標方程和參數方程的相互轉化。
第三章平面與空間直線
3·1平面的方程
3·2平面與點的相關位置
3·3兩平面的相關位置
3·4空間直線的方程
3·5直線與平面的相關位置
3·6空間兩直線的相關位置、
3·7空間直線與點的相關位置
3·8平面束
考核要點：平面與空間直線的各種形式的方程，平面與平面、平面與點、平面與直線、直線與點、直線與直線之間的相關位置。
第四章柱面、錐面、旋轉面與二次曲面
4·1柱面
4·2錐面
4·3旋轉曲面
4·4橢球面
4·5雙曲面
4·6拋物面
4·7單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線。
考核要點：柱面方程、錐面方程、旋轉面方程的建立方法、齊次方程、繞坐標軸旋轉的旋轉面方程、橢球面、雙曲面、拋物面的方程、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線族方程。
第五章二次曲面的一般理論
5·1二次曲面與直線的相關位置
5·2二次曲面的漸近方向與中心
5·3二次曲面的切線與切平面
5·4二次曲面的徑面與奇向
5·5二次曲面的主徑面與主方向、特征方程與特征根
5·6二次曲面方程的化簡與分類
5·7應用不變量化簡二次曲面的方程
考核要點：二次曲面的漸近方向與非漸近方向、中心、切線、切平面、奇點、徑面、奇向、主徑面與主方向、特征方程與特征根、二次曲面方程的化簡與分類、直角坐標變換、應用不變量化簡二次曲面的方程。
三、參考書目
[1]呂林根、許子道.解析幾何.北京：高等教育出版社，2001年第3版.
[2]南開大學主編.空間解析幾何.北京：高等教育出版社，2002年.
[3]呂林根、許子道.解析幾何學習輔導書.北京：高等教育出版社，2006年.
[4]劉建成、賀群.空間解析幾何.北京：科學出版社，2018年.
原文標題：西北師范大學數學與統計學院2023年碩士研究生招生考試自命題《統計學綜合考試》科目參考大綱
原文鏈接：https://yjsy.nwnu.edu.cn/2022/0629/c2701a192505/page.htm
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原文鏈接：https://yjsy.nwnu.edu.cn/2022/0629/c2701a192505/page.htm
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