碩士研究生招生考試
同等學力和跨專業加試
微分幾何考試大綱
(科目代碼：)
學院名稱(蓋章)：數學與統計學院
學院負責人(簽字)：
編制時間：2022年6月22日
微分幾何考試大綱
一、考核要求
理解曲線論和曲面中的一些基本概念，準確掌握研究微分幾何的常用方法和基本結論。能夠以此為基礎研究現代微分幾何學，能夠理論聯系實際、分析和解決實際幾何問題。
二、考核要點
第一章考核曲線論的基本概念、基本公式和基本方法；第二章考核正則參數曲面的概念，曲面的第一、二基本形式，曲面的各種曲率、曲面上的各種方向和對應曲線，特殊曲面的幾何意義和幾何特征；第三章考核等距對應和共形對應的基本概念，測地曲率的計算，測地線方程和基本性質，Gauss-Bonnet公式及重要結論，特殊曲面，理解測地曲率和測地線是內蘊幾何概念，了解協變微分。
三、考核內容
第一章曲線論
第一節曲線的概念
第二節Frenet標架
第三節空間曲線的曲率和撓率
第四節曲線輪的基本定理
第五節密切曲面
第六節特殊曲線
說明：掌握曲線的概念，空間曲線的基本三棱形，曲率撓率和Frenet公式。掌握特殊曲線：平面曲線，一般螺線。掌握曲線上一點鄰近的結構和空間曲線論的基本定理。
第二章曲面論
第一節正則曲面的概念
第二節曲面的第一基本形式
第三節曲面的第二基本形式
第四節法曲率與Weingarten變換
第五節主曲率、Gauss曲率和平均曲率
第六節漸近方向與漸近線、主方向與曲率線
第七節特殊曲面
第八節曲面論的基本定理
說明：掌握正則參數曲面的概念，掌握并能熟練計算曲面的第一基本形式、曲面的第二基本形式、各種曲率，理解曲面上的特殊方向（指漸近方向和主方向）和特殊曲線（指漸近線和曲率線）的幾何意義。掌握可展曲面的幾何意義和幾何特征，懂得Gauss曲率是內蘊量，理解曲面論的基本定理。
第三章曲面的內蘊幾何
第一節等距對應與共形對應
第二節測地曲率與測地線
第三節Gauss-Bonnet公式
第四節協變微分
第五節常高斯曲率的曲面
說明：理解等距對應的意義。熟練掌握測地曲率的計算，掌握測地線的方程和基本性質。熟記Gauss-Bonnet公式及幾個重要推論。了解協變微分是歐氏平面上普通導數概念在曲面上的推廣。理解測地曲率和測地線是內蘊幾何概念。掌握常高斯曲率曲面。
四、參考書目
1.陳維桓編著，《微分幾何》，北京大學出版社，2006年.
2.蘇步青，胡和生等，《微分幾何》，高等教育出版社，1994年.
3.梅向明,黃敬之編,《微分幾何》（第四版），高等教育出版社，2008年.
原文標題：西北師范大學數學與統計學院2023年碩士研究生招生考試自命題《微分幾何》科目參考大綱
原文鏈接：https://yjsy.nwnu.edu.cn/2022/0629/c2701a192505/page.htm
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