海南師范大學(xué)全國碩士研究生招生自命題考試大綱
考試科目代碼：[] 考試科目名稱：實變函數(shù)
一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
（一）試卷成績及考試時間
本試卷滿分為100分，考試時間為120分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
（三）試卷結(jié)構(gòu)
名詞解釋題；簡答題；計算題；證明題等
二、考試目標(biāo)：
1.掌握實變函數(shù)的基本概念和基礎(chǔ)知識。
2.理解實變函數(shù)的基本理論和基本方法。
3.運用實變函數(shù)的基本理論和方法來證明和解決相關(guān)問題。
三、考試范圍：
第一章 集合
集合的描述與表示，子集，集合的相等;集合的并、交、差、補運算及其性質(zhì)，德·摩根公式：上限集、下限集及其性質(zhì)。映射、單射、滿射、雙射，逆映射及其性質(zhì)；對等及其性質(zhì)；基數(shù)與基數(shù)的比較，伯恩斯坦定理。可數(shù)集的定義及等價條件，可列集及其性質(zhì)，可數(shù)集的判斷證明。不可數(shù)集的存在性, 連續(xù)基數(shù)及其性質(zhì)，連續(xù)基數(shù)的判斷證明，基數(shù)無最大者。
第二章 點集
度量空間概念、鄰域及其性質(zhì)、收斂點列、點集的距離與直徑、區(qū)間概念。內(nèi)點，外點，邊界點，聚點及孤立點，聚點及其等價條件，邊界，內(nèi)核、導(dǎo)集與閉包概念及其簡單性質(zhì)。Bolzano-Weierstrass定理，開集與閉集的及其運算性質(zhì)，海涅-波雷爾有限覆蓋定理，緊集、自密集與完備集。直線上開集、閉集、完備集的構(gòu)造。平面上開集的構(gòu)造，康托（Cantor）集的構(gòu)造與性質(zhì)。
第三章、測度論
教學(xué)內(nèi)容: 外測度及其性質(zhì)，可測集的定義，可測集的運算性質(zhì)，單調(diào)可測集列極限的測度。區(qū)間、開集、閉集皆可測、G6型集，F(xiàn)型集，可測集同開集、閉集、 G6 型集、F型集之間的關(guān)系。
第四章、可測函數(shù)
點集上的函數(shù)：廣義實數(shù)系 R=R∪(±∞)的運算。可測函數(shù)的定義及等價條件，連續(xù)函數(shù)與簡單函數(shù)皆可測，可測函數(shù)關(guān)于代數(shù)運算和極限運算的封閉性，可測函數(shù)同簡單函數(shù)列的關(guān)系，“幾乎處處”的概念。可測函數(shù)列的收斂性, 葉果洛夫定理。魯金定理（兩種形式），依測度收斂，依測度收斂與幾乎處處收斂互不包含的例子，勒貝格定理，黎斯定理，依測度收斂極限的唯一性。
第五章、勒貝格積分
測度有限集合上有界函數(shù)的勒貝格大和與小和，上積分與下積分，有界勒貝格可積函數(shù)，有界可積的充要條件是有界可測，有界勒貝格可積函數(shù)的運算性質(zhì)，勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系。有界函數(shù)積分的積分區(qū)域與被積函數(shù)的有限可加性，積分的線性性質(zhì)。積分的單調(diào)性與絕對可積性，非負(fù)函數(shù)積分存在與可積的定義，一般函數(shù)積分存在與可積定義，勒貝格積分的性質(zhì)。勒貝格控制收斂定理，列維漸升函數(shù)列積分定理，勒貝格逐項積分定理，可積函數(shù)積分區(qū)域可列可加性，法都引理，廣義黎曼可積與勒貝格可積的關(guān)系。直積、截面的概念及性質(zhì)，勒貝格積分的幾何意義，富比尼定理。
四、主要參考書目
1、《實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》（第三四版）程其襄 張奠宙 魏國強 胡善文 王漱石 編，高等教育出版社 2019年6月 第4版
2、《實變函數(shù)論》（第二版）江澤堅 吳智泉編 高等教育出版社 1994年6月第2版；
